[Math] 행렬(Matrix)

1. 행렬의 정의

수 또는 대수를 직사각형 형태로 나열한 것
각 요소는 행렬의 특정 위치에 있는 값으로 정의되며 다음과 같이 표현된다.

m X n matrix

여기서 a_ij는 i번째 행과 j번째 열의 요소를 나타낸다.

 

3 X 2 matrix

예를 들어 위의 행렬은 3X2 행렬이며 (3, 1) 성분은 e가 된다.

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2. 행렬의 종류

정방행렬(square matrix)
행과 열의 수가 같은 행렬

정방행렬

 
영행렬(zero matrix)
모든 요소가 0인 행렬

영행렬

 
대각행렬(diagonal matrix) 
주대각선을 제외한 요소가 모두 0인 정사각형 행렬

대각행렬

 
단위행렬 · 항등행렬(unit matrix ·  identity matrix)
주대각선 요소가 모두 1이고 나머지 요소가 0인 정사각형 행렬

단위행렬

전치행렬(transposed matrix)
행과 열을 교환하여 얻는 행렬
즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬

기호는 A^T를 사용한다.

 
m×n 행렬의 전치행렬은 n×m 행렬이 된다.

(A^T)^T = A가 성립한다.

 

전치행렬

 
대칭행렬(symmetric matrix)
자신의 전치행렬이 자신과 같은 행렬

즉, row와 column이 바뀌어도 동일한 값을 가지는 행렬 (i_{6 12} = i_{6 12})

대칭행렬

 
회전변환행렬(Rotation matrix)
임의의 행렬을 원점을 중심으로 회전시키는 행렬으로 선형변환의 성질 중 하나이다.
 

회전행렬

 
역행렬(inverse matrix)
어떤 정사각 행렬에 대해, 그 행렬을 곱했을 때 단위행렬이 되는 행렬을 의미한다.

기호는 A^-1을 사용한다.

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3. 행렬의 연산

덧셈과 뺄셈

• 행렬의 덧셈과 뺄셈은 행렬의 같은 위치의 요소끼리 더하거나 빼면 된다.
• 행렬의 차원이 같아야만 연산이 가능하다.

행렬의 덧셈과 뺄셈

 
스칼라곱

• 행렬의 스칼라곱은 행렬의 모든 요소에 각각 스칼라를 곱하면 된다.

행렬의 스칼라 곱

 
행렬의 곱

• 행렬 A * B가 정의되기 위해서는 A의 열 수와 B의 행수가 같아야 한다.
• A가 m * n, B가 n * p크기의 행렬이라면 결과 행렬의 크기는 m * p가 된다.
• A * B = C에서 결과행렬 C의 (i, j) 성분은 A의 i행과 B의 j열의 내적값이다.

행렬의 곱

크기가 다른 행렬의 곱

 
역행렬

• 역행렬이 존재하려면 행렬의 크기는 n*n의 정사각형 행렬이어야 한다.
• 행렬식이 0이 아니어야 한다. 행렬식이 0인 경우 특이행렬이라 하며 역행렬이 존재하지 않는다.

역행렬 A

위의 식을 만족하는 행렬 A가 앞의 행렬의 역행렬이 된다.
 

위의 식을 다음과 같이 변형하면 a, b, c, d의 값을 찾기 위해서 연립방정식을 사용할 수 있다.

변형된 식

 
즉 다음과 같은 연립방정식이 나온다

이를 계산하면 아래의 값이 나온다.

a = -5

b = 2

c = 3

d = -1

즉 역행렬은 다음 값이 된다.