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[Math] 행렬식 선형변환을 수행할 때 때때로 공간을 확장 또는 축소하게 되는데 변화하는 공간의 비율을 행렬식이라고 한다.위의 경우 면적이 기존보다 6배 증가한다. 즉 행렬식은 6이다. 단순한 회전이나 전단의 경우 면적이 변하지 않으므로 행렬식에 영향을 주지 않아야 한다.즉 행렬식은 1로 유지되며 변하지 않는다.  i와 j가 뒤집히면 행렬식은 음수가 된다. 행렬식이 알려주는 가장 중요한 정보는 선형 종속인지 여부이다.만약 행렬식이 0이라면 공간이 더 작은 차원으로 줄어들었다는 뜻이다.따라서 0 행렬식을 테스트하는 것은 변환에 선형종속이 있는지 확인하는데 매우 유용하다. 2024. 11. 22.
[Math] 선형 변환 기저 벡터두 벡터 (i hat)와 (j hat)가 있을 때 다른 벡터의 변환을 설명하는데 사용되는 이런 벡터를 기저벡터라고 한다.일반적으로 아래처럼 길이가 1이고 서로 수직이며 양의 방향을 가리킨다.위의 기저벡터는 2 X 2 행렬로 표현되며 첫 번째 열이 i hat 두 번째 열이 j hat이다. 선형변환기저벡터를 사용해 벡터 v를 만들었을 때 기저 벡터를 스케일링하면 벡터 v 또한 기저 벡터를 따라 변하게 된다.이를 선형변환(linear transformation)이라고 한다.  일반적으로 선형변환을 사용하면 아래와 같이 네가지 동작을 수행할 수 있다. 기저벡터 스케일회전전단반전스케일벡터의 크기를 조정하면 벡터가 늘어나거나 줄어든다.회전벡터공간을 회전시킨다.전단특정방향의 직선과의 거리에 비례하여 각 포인.. 2024. 11. 21.
[Math] 스팬과 선형종속 스팬(span)방향이 다른 두 벡터를 합과 크기를 조절하는 두 가지 연산을 사용하여 원하는 결과벡터를 만들 수 있다.이때 가능한 벡터의 전체 공간을 스팬이라 한다. 아래는 두 벡터를 스케일링과 합을 사용해 새로운 벡터를 만드는 예를 보여준다.서로 다른 벡터 2개가 있을 때 두 벡터는 선형 독립이며 스팬이 무한하다.만약 두 벡터가 같은 방향으로 존재하거나 같은 선상에 존재하는 경우 벡터를 조합하더라도 항상 선 위에 고정되기에 스팬이 제한된다. 즉 선형 종속이 된다.만약 3차원 이상에서 선형 종속인 벡터들은 더 적은 수의 차원으로 제한된다.예를 들어 3차원에서 선형 종속이 생긴 경우 평면 혹은 하나의 선으로 스팬이 제한될 수 있다. 2024. 11. 15.
[Math] 행렬(Matrix) 1. 행렬의 정의수 또는 대수를 직사각형 형태로 나열한 것각 요소는 행렬의 특정 위치에 있는 값으로 정의되며 다음과 같이 표현된다.여기서 aij는 i번째 행과 j번째 열의 요소를 나타낸다. 예를 들어 위의 행렬은 3X2 행렬이며 (3, 1) 성분은 e가 된다.2. 행렬의 종류정방행렬(square matrix)행과 열의 수가 같은 행렬 영행렬(zero matrix)모든 요소가 0인 행렬 대각행렬(diagonal matrix) 주대각선을 제외한 요소가 모두 0인 정사각형 행렬 단위행렬 · 항등행렬(unit matrix ·  identity matrix)주대각선 요소가 모두 1이고 나머지 요소가 0인 정사각형 행렬 전치행렬(transposed matrix) 행과 열을 교환하여 얻는 행렬즉, 주대각선을 축으로 .. 2024. 11. 8.
[Math] 벡터의 일차 결합 벡터의 일차 결합 (Linear Combination) 주어진 벡터들을 스칼라 값으로 곱하고 더하는 과정W = αV₁ + βV₂이때 α와 β는 상수 벡터의 내분벡터의 내분은 0  t  1 일때 주어진 두 점을 특정 비율(1 - t : t)로 나누는 과정을 말하며 다음과 같이 정의한다.p = (1 - t)a + tB이를 변형하면 다음과 같다p = a + t(b - a) 활용선형보간내분을 통해 시작지점에서 목표지점으로 부드럽게 이동시킬 수 있다.static void Main(){ Vector startPoint = new Vector(0, 0); Vector endPoint = new Vector(10, 10); float duration = 2.0f; // 이동 시간 (초) // 보간.. 2024. 10. 10.
[Math] 벡터의 내적(Dot Product)과 외적(Cross Product) 내적(Dot Product)두 벡터의 내적은 두 벡터의 크기와 방향의 유사성을 측정하여 하나의 스칼라값을 구하는 연산이다.1) a⋅b=a1​×b1​+a2​×b22) A⋅B=∣A∣∣B∣cosθ벡터 a=[2,1]와 b=[3,0​]의 내적은 다음과 같다.a⋅b=2​×3​+1​×0 = 6특징스칼라 값을 반환한다.교환법칙이 성립한다.두 벡터가 이루는 각도에 따른 내적 값0도일 때 (같은 방향일 때) 벡터의 크기의 곱90도일 때 (서로 수직) 0두 벡터가 반대 방향(90도를 초과해서 차이날 때)일 때는 음수 값을 반환한다.활용시야(FOV: Field of View)계산내적을 통해 적이 시야 내에 있는지 확인 할 수 있다.bool Fov(Vector3 originPosition, Vector3 direction, V.. 2024. 9. 30.
[Math] 벡터 (Vector)와 스칼라(Scala) 벡터와 스칼라스칼라스칼라는 방향이 없는 단순 값을 나타낸다.온도(30도), 길이(5미터), 질량(2킬로그램)등이 스칼라에 해당한다.벡터스칼라를 배열의 형태로 나열한 것으로 방향과 크기를 가진다.좌표 [1,2], 물체에 작용하는 힘의 크기와 방향등이 벡터에 해당한다.벡터는 방향과 크기를 모두 가진다.예를 들어 [2,1]라는 벡터를 화살표로 표현하면 다음과 같다.  벡터의 연산1. 벡터의 합벡터와 벡터를 더할 때는 같은 성분끼리 더한다.예를 들어, 두 벡터 두 벡터 v1=[1,2]와 v2=[3, 4]의 합은 다음과 같다.v3​=v1​+v2​=[1+3,2+4]=[4,6] 2. 벡터의 스칼라 곱벡터와 스칼라를 곱하면, 벡터의 각 성분에 스칼라 값을 곱한다.예를 들어, 벡터 [2,3]에 스칼라 2를 곱하면 다음과.. 2024. 9. 30.
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